eGela

Berritzegune Nagusia

Sinestezina badirudi ere, badu azalpena: urtebetetzearen paradoxa eta antzeko gaiak

1.- Urtebetetzearen ustezko paradoxa

Gelan sartu, eta ikasgelako 30 ikasleei euren urtebetetze-data galdetu diezu. 30 ikasle izanik, seguru ez duzula kointzidentzia askorik espero. Arrazona ezazu ondoren adieraziko dizugun bezala: Urteak 365 egun ditu, eta bakarrik 30 ikasle dituzu. Beraz, kointzidentziarako probabilitatea oso txikia da; ez al zaizu horrela iruditzen? Egizu proba zure gelan, eta harrituta geratuko zara emaitzarekin.

Ikuspuntu matematiko batetik, zera ari gara galdetzen: zein da bi ikaslek edo gehiagok urteak egun berean betetzeko dagoen probabilitatea? Ekin diezaiogun bada ebazpenari. Kalkula dezagun bi ikaslek urteak egun berean ez betetzeko dagoen probabilitatea. Argi dago lehengoak ez duela inongo baldintzarik; hau da, urteko edozein egunetan bete ditzake urteak (365 aukeretatik 365 kasu dira aldekoak). Baina bigarrenak, ordea, kointzidentziarik gerta ez dadin, beste egunen batean bete beharko lituzke urteak (365 aukeretatik 364 kasu dira aldekoak).

Beraz, bi ikasle horiek urteak egun berean ez betetzeko probabilitatea hau izango da:

Era berean arrazonatuz, 3 ikaslek urteak egun desberdinetan betetzeko probabilitatea beste hau izango litzateke:

Era berean, 30 ikasleek urteak egun desberdinetan betetzeko probabilitatea:

Aurrekoa kointzidentziarik ez egoteko probabilitatea bada, kointzidentziaren bat egoteko probabilitatea beste hau izango da: 1 – 0,2937= 0, 7063

Beraz, kointzidentziaren bat egoteko probabilitatea nahiko altua da.

Antzeko arrazonamendua jarraituz, n pertsonako edozein bileratan, gutxienez bik urteak egun berean betetzeko probabilitatea honako hau izango da: 

Kalkulu-orri bat erabiliz, honako emaitza hauek lor ditzakegu:

Pertsona-kopurua Kointzidentzia-probabilitatea Pertsona-kopurua Kointzidentzia-probabilitatea
5 0.027 30 0.706
10 0.117 35 0.814
15 0.253 40 0.891
18 0.347 50 0.970
20 0.411 60 0.9951
23 0.507 70 0.99916
25 0.569 80 0.99991
27 0.627 90 0.99999

Taulan baiezta daitekeenez, 23 pertsonatik aurrera probabilitatea %50a baino handiagoa da; ez al da harrigarria?

Ikus dezagun grafikoki, nola aldatzen den probabilitatea pertsona-kopuruaren arabera.

2.- Antzeko egoera batzuk:

a) Kointzidentziak loteria primitiboan

http://despilfarro.com/comprobar-el-gordo-de-la-primitiva/
http://ysigopensando.blogspot.com/2011/11/el-tiempo-es-oro.html

Honako hau izan zen konbinazio irabazlea 2002ko abuztuaren 22an: 13, 21, 24, 26, 32 eta 34.  Bestalde, 2009ko abenduaren 10ean konbinazio irabazlea bera izan zen. Hau kasualitatea!

Gertaera harrigarri eta sinestezin bat bezala kalifikatu zuten kointzidentzia hori informazio komunikabide askok. Baina, benetan horrenbesterako al da?

Konbinazio posibleak 13.983.816 dira, (seinaka hartutako 49 elementuren errepikapenik gabeko konbinazioak). Zazpi urte horietan, loteria primitiboko 2.245 zozketa egin ziren (loteria primitiboa eta bonolotoa hartu dira kontuan).

Beraz, problema hau urtebetetzearena bezala plantea dezakegu: urteak oraingoan, 13.983.816 egun izango lituzke, eta pertsona-kopurua 2.245ekoa izango litzateke. Horrela, kointzidentziaren bat egoteko probabilitatea:

Beraz, konbinazio berbera agertzeko probabilitatea %16koa da. Konbinazioa errepikatzeko probabilitatea baxua da, baina ezin dugu esan gertaera sinestezina edo harrigarria denik.

b) Kointzidentzia poltsa batean dauden zenbakidun boletan

Demagun, zenbakidun 100 bola sartu ditugula poltsa batean: 00, 01, 02, 03, …, 82, 83,…, 98 eta 99, hurrenez hurren.

Orain, begiratu gabe, eskua poltsan sartu, eta bola bat aterako dugu. Bolaren zenbakia orri batean idatzi, eta bola berriro poltsan sartuko dugu. Prozedura berdina jarraituz, 15 bola aterako ditugu guztira. Gai zara ateratako zenbakiren bat errepikatzeko probabilitatea gutxi gorabehera zenbatekoa den esateko? Probabilitate hori altua izango dela iruditzen zaizu?

Eta urtebetetzearen problemara itzuliz, oraingoan, urteak 100 egun izango lituzke, eta gela, 15 pertsona izango genituzke; beraz, kointzidentziaren bat gertatzeko probabilitatea honako hau izango litzateke:

Hona hemen antzekoa den beste problema bat: 15 kotxeren matrikuletako azkenengo bi zifrak idatziko ditugu, eta apustu egingo dugu kointzidentziaren bat egongo dela. Badirudi logikaren kontra doala. Baina, 100 boletako poltsaren kasu berbera dugu oraingoan ere!

Eta urtebetetzearen problemara itzuliz, oraingoan, urteak 100 egun izango lituzke, eta gela, 15 pertsona izango genituzke; beraz, kointzidentziaren bat gertatzeko probabilitatea honako hau izango litzateke:

Beraz, errepikapen edo kointzidentzia hori gertatzeko probabilitatea, gutxi gorabehera, 2/3 dela esan dezakegu, nahiz eta, intuizioak askotan, txikiagoa dela esaten digun.

Horrelako problemak simulatzeko, zenbaki sasi ausazkoak erabil ditzakegu. Ikus dezagun bada. Adibidez, 1.962.ean, Donald B. Owen-ek Handbook of Statistical Tables, Reading Mass: Addisson-Wesley-n argitaratutako zenbaki sasi ausazkoetako zerrendara joko dugu:

3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730

0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280

6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002

0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232

5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809

2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729

1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501

7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882

8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244

5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642

0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092

0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921

2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383

7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664

5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525

Simulazioa egiteko, bi zifra jarraitu hartuko ditugu. Lehenengo errenkadatik hasi, eta lehenengo 15 bikoteei erreparatuko diegu:

36   90   24   92   71   71   77   20   65   09    75   49   23   30  57

Ikus dezakegunez, 6. bola ateratzerakoan, badugu kointzidentzia bat.

Oharra:

Badago antzekoa den problema bat, baina erantzun desberdina duena:

“Kalkulatu n pertsonako gela bateko pertsona batek zure egun berean urteak egiteko probabilitatea”

Zu eta beste pertsona baten arteko kointzidentziarik ez egoteko probabilitatea  da. Hiru pertsonen artean (zu eta gelako bi pertsonen artean) kointzidentziarik ez egoteko probabilitatea berriz, º da, eta horrela, hurrenez hurrenekoak.

Beraz, gela horretan, n pertsona daudenez,  horretakoren batek zure urtebetetze egunean urteak betetzeko probabilitatea hau izango da:

P =       

Kalkuluak Excel taula batean egiten baditugu:

Pertsonak Probabilitatea
2 0,00547195
3 0,00819668
4 0,01091395
5 0,01362377
6 0,01632618
7 0,01902117
8 0,02170879
9 0,02438904
10 0,02706194
11 0,02972753
12 0,03238581
13 0,0350368
14 0,03768054
15 0,04031703
16 0,0429463
17 0,04556836
18 0,04818325
19 0,05079096
20 0,05339153
21 0,05598498
22 0,05857133
23 0,06115058

Ikus daitekeenez, n = 23 kasurako, 0,061 ingurukoa da probabilitatea. Probabilitatea erdia baino gehiagokoa izateko, 250 pertsona baino gehiago beharko genituzke gelan.

Bukatzeko esan beharra dago, matematikaren laguntzarekin, hasiera batean ulertezinak ziruditen gertaerak ulergarri bihurtu ditugula.

Erabilitako bibliografía:

1) Pere Grima(2010); La certeza absoluta y otras ficciones .RBA. Barcelona

2) Urtebetetzearen paradoxa: http://eu.wikipedia.org/wiki/Urtebetetzeen_ebazkizuna

Santiago Fernández Fernández
José Manuel López Irastorza
(Berritzegune Nagusiko matematika aholkulariak)

Comments are closed.